Satelliters färd över jorden

Satelliter har blivit en del av vår vardag. Det låter nästan dumt att säga det. Så pass självklart har det blivit. Vi tillämpar tekniken – men känner vi till förutättningarna. Låt oss kasta ett matematiskt söga på sambandet mellan den höjd man placerar satelliten på och den banhastighet den bör ha för att bli kvar i sin bana.

Satelliter placeras så att de har bästa tänkara möjligheter at utföra sitt uppdrag. Olika omloppsbanor är lämpade för olika uppdrag. Det är naturligt att en satellit med vilken man vill studera detaljer på jorden är placerad rätt nära jordytan. Lika naturligt är det att de satelliter man använder för telekommunikation bör vara geostationära, ligga över samma punkt på jorden hela tiden, för att man enkelt ska kunna rikta en antenn mot den och sedan låsa antennen så.

Nära jorden påverkas satelliten starkt av jordens gravitation. Det medför att satelliter på låg höjd bör ha en högre hastighet, relativt jorden, än en satellit som är lång borta från jorden. Samtidigt är sträckan som en satellit nära jorden fördas under ett varv kort jämfört med en geostationär satellits långa bana.

Detta blir otympligt att förklara utan matematik, så vi går över till det universella språk vi kallar matematik:

Grunder för beräkningar:

Innan vi börjar bör vi vara bekant med verktygen. I detta fall finns en behändig formel intill. Vad händer om ”r” ökar? Vi får ett lägre värde – en lägre banhastighet. Vad händer om vi i stället för jordens massa väljer en lättare – eller tyngre – planet men bibehåller banradien?

Formeln ovan ger oss en satellits hastighet utgående från dess banradie – vilken i stort sett är satellitens avsånd från jordens centrum. “G” är Gravitationskonstanten, 6,67·10^-11N·m²/kg², “m” i detta fall är jordens massa, 5,97·10^24kg och “r” är radien för satelitens omloppsbana. Eftersom vi i detta exempel håller oss kring orden är banradien jordens radie, 6,37·10^6m plus satellitens höjd över jordytan.

Vi kan ta ISS, den internationella rymdstationen som exempel. Den rör sig omkring 400km över jordytan Vi får då:

Vi kan ta sats i samma ekvation när ska räkna ut hur länge det tar för en satellit att fullgöra ett varv, T. Vi antar att omloppsbanan är en hyfsat jämn cirkel. We can also start from the same equation to calculate the orbital period, T. Vet vi radien kan vi beräkna cirkelns omkrets, 2πr. Vi uttrycker hastighet som sträcka/tid. I detta fall får vi då ett varv i omloppsbana per tid, T. 2πr/T.

Hastigheten  vi jobbar med är orbital-hastigheten, v orb. Vi tar det vi nu har fått klara uttryck för, använder lite algebra och  inrkitar oss på att beräkna “T”

Snart framme! Vi kan plocka ut  “4π²” ur kvadratroten.

Då har vi fått den formel vi ofta kommer i kontakt med när vi ska beräkna en orbitalperiod – tiden som krävs för att fullgöra ett varv i en omloppsbana. Använder vi denna formel för ISS, som vi räknade med i förra exemplet, får vi en period på 5542 s, lite drygt 90 minuter. Då kan vi också konstatera att ISS gör omkring 16 varv kring jorden per dygn. Med andra ord får astronauterna 15 soluppgångar under 24 timmar.

 

Med det vi nu kommit fram till kan vi också beräkna banradien för en geostationär satellit – en satellit som alltid finns på samma plats relativt jorden. Då måste perioden, T, vara exakt den tid det tar för jorden att rotera ett varv kring sin egen axel. Det är inte riktigt samma sak som tiden mellan två soluppgångar – en soldag. Detta beror på jordens att jorden också rör sig kring solen. Vi använder i detta fall ett stjärndygn som är  86164 sekunder.

Efter algebran byter vi ut vårt ”T” mot 86164 s i den nyss härledda formeln. Vi får ett “r” på 42200000m. Det betyder att banradien hos en geostationär satellit är 42200km. Räknar vi därefter bort jordens radie kommer vi fram till at en geostationär befinner sig 35800km över ekvatorn. (En relevant följdfråga vore kanske: Varför just över ekvatorn eller i dess närhet?)

 

---

Jan är lärare i matematik och vetenskapliga tillvalsämnen på Sursik skola i Pedersöre, Finland. Att ta in världsrymden i klassrummet ger ofta, åtminstone, ett delsvar på frågan ”Varför?”, en fråga som hörs rätt ofta i samband med matematikundervisningen. Att dryfta stora frågor ger nyfikenheten näring, vilket i sin tur är en av nyckelingredienserna till framgång.