”Tidvattenkraft”

Är vi rädda för matematiken?

Det uppstår lätt ett glapp mellan kunskapen om ett fenomen och förståelsen av hur fenomenet uppstår. Är fenomenet av fysisk karaktär är matematiken ett viktigt, universellt, språk. Det är också det språk som används när teorier utreds och lagar generaliseras. Vi kan på goda grunder anta att om man själv, med matematikens hjälp, kan beräkna en kraft är förståelsen djupare än om man präntar in värden för densamma gällande några givna situationer.

”Perhaps sesquepedalious chemical names just sound dangerous. But in that case we should blame the chemists, and not the chemicals.” hävdar Neil deGrasse Tyson. Vem vi ska dra till de anklagades bås när folk känner sig otrygga vid matematikens inträde på arenan låter vi för tillfället bli att utreda. Jag antar dock att jag ligger pyrt till.

Att orsakerna till tidvattnet på Jorden beror på hur vår planet är gravitationsmässigt bunden till Solen och Månen får man rätt tidigt lära sig. Gravitationen från Månen får världshavens yta att stiga på den sida av jorden som vetter mot Månen. Fint! Varför stiger då vattnet också på den motsatta sidan av Jorden?

Vi har också lärt oss att Solen, trots sin stora massa, inte överträffar Månen i kampen om tidvattnet. Detta eftersom Månen är så pass mycket närmare oss än Solen.

Fint.

Månens centrum är kring 384 miljoner meter från Jorden och har en massa på 7,34×10²² kg. Jorden har en massa på 5,97×10²⁴ kg. Solens massa är 1,99×10³⁰ kg och befinner sig 150 tusen miljoner meter, , 1,5×10¹¹m, från Jorden.

Där är allt som behövs för att beräkna hur kraftig gravitationen är mellan Jorden och Månen respektive Jorden och Solen. Ta en paus i läsandet och räkna. En hyfsad approximation är god nog.

Överraskad över resultatet? Det var jag. Jag hade aldrig gjort beräkningarna. Jag hade aldrig jämfört. Jag (skäms). Å andra sidan – Att upptäcka luckor i uppfattningen av den värld man lever i är värdefullt! Mycket värdefullt. Luckorna är liksom lättare att täppa till när man väl upptäckt dem.

Den förenklade bilden av att Månen drar havsytan till sig är så pass mycket förenklad att den i ett något skede måste klassificeras som inkorrekt.

Månen rycker genom gravitationen i samtliga partiklar på, och i, Jorden. Eftersom avståndet mellan Månen och Jorden är förhållandevis kort har det en betydlig skillnad i avståndet till Månens centrum beroende på om du står på den sida som är vänd mot månen eller om du står på andra sidan jorden. Jordens diameter utgör de facto över 3,3% av avståndet mellan Månens och Jordens respektive masscentra. Vår hemplanets diameter utgör dock mindre än en halv procent av avståndet till Solen. Tar vi det med i bilden vi har av gravitation och tidvatten inser vi att gravitationen mellan Jorden och Solen inte ger upphov till så stora skillnader från en sida av jorden till den andra som den mellan Månen och Jorden.

Ta gärna en närmare titt på bilden intill. Pilarna är inte skalenliga, men illustrerar fenomenet ”tidvatten”. Tidvattenkraften, som i och för sig beror på gravitationen, sträcker ut och ”töjer” Jorden på samma sätt som om man nyper tag i en vattenfylld ballong och drar iväg med den. Här är Månen och Solen på samma sida om Jorden. De drar åt samma håll. Jorden utsätts för en kraftig ”töjning”. Det är det vi kallar springflod.

Med detta klargjort är det inte ett dugg kontraintuitivt att se motsvarande springflod när vi har fullmåne, när Jorden befinner sig på en linje mellan Månen och Solen som i bilden ovan. Det har alltså ingen större betydelse om Månen och Solen drar åt samma håll eller åt var sitt håll. Effekten är den samma. Jorden sträcks ut med summan av deras påverkan.

Vad händer då när vi har halvmåne – då Solen och Månen befinner sig 90° åtskilda från Jorden sett? Nu ”samsas” inte Måne och Sol för att sträcka ut Jorden. Vi har nipflod. En minimal skillnad i nivå mellan ebb och flod.

 

Märk väl att skisserna i detta inlägg inte är skalenliga. Pilarna är accentuerade, för att inte säga rent överdrivna. Skulle de inte vara så så skulle skillnaderna inte synas. De största lokala tidvattenskillnaderna i världen uppgår till två miljondelar av jordens radie. Världshavens medeldjup är drygt en halv promille av densamma. Stora delar av Jordens yta är täckt av vatten men vattenmängden är ringa.

Däremot är det bra att gå till extremfall när man testar sina idéer. En sfär, bestående helt och hållet av vatten vore den ultimata kroppen när tidvattnet skall undersökas. Riktigt så är inte skisserna i detta fall, men näst intill. Det är tydligare så.

Nu är det i alla fall tid att ta in matematiken. Med tanke på att gravitationen ska deriveras med avseende på avståndet, r, skriver vi om uttrycket. (Varför betecknas avståndet med ”r”?)

Det vi är intresserade av är ju hur kraften förändras när avståndet förändras. Förändringen i kraft / förändring i avstånd. Vi märker att ”tidvattenkraften” är proportionell mot avståndet i tredje potens. Det innebär att förändringen är betydligt mer känslig för avstånd än gravitationen i sig.

Matar vi in de värden vi hade höge upp på sidan i det nya uttrycket – som uttryckligen gäller tidvattenkraft får vi för Månens och Jordens del:

Notera också enheten. Kgm/s² är massan multiplicerad med acceleration. F = ma, som vi känner som Newtons andra lag och vars enhet vi kort och gott kallar Newton. Det ”m” vi har kvar i nämnaren gör att enheten vi får är ”Newton per meter”, till skillnad från gravitationskraften vars enhet är Newton.

Räknar man ut skillnaden i gravitationskraften, enligt den inledande formeln, mellan den sida av Jorden som vetter mot Månen och den som är vänd bort från Månen och sedan dividerar skillnaden med Jordens radie i meter, kommer resultatet att vara 1,03×10¹² N. Därav enheten N/m

Det vi vet, om att Månen dominerar över Solen när det gäller tidvattnet på Jorden, det som illustreras i figurerna ovan, bekräftas matematiskt nedan:

Då så! Men – Varför är ”tidvattenkraften” inom citationstecken? Jo -Därför att det inte bara är vatten som påverkas. Vi pratar bara så sällan om ”tidjord” även om det är frågan om ett reellt fenomen. Det blir tydligare om vi flyttar en bit utåt från vår hemplanet. Jupiter har större massa än de övriga planeterna i vårt solsystem tillsammans. Detsamma gäller också gravitationen. Vad betyder det för de Galileiska månarna?

De tre innersta av Jupiters Galileiska månarna, Io, Europa och Ganymedes, har omloppsbanor i inbördes resonans enligt 4:2:1.  När Io fullbordat fyra varv kring gasjätten har Europa gjort två varv och Ganymedes ett. Det här betyder att månarna regelbundet ligger på linje med varann och Jupiter. Io är den måne som utsätts för de största påfrestningar i den karusellen. Io töjs så frekvent och så kraftigt av ”tidvattenkraften” att den friktion i månen som följer härpå värmer upp månen rejält. Därför är Io den mest vulkaniska himlakroppen i vårt solsystem, och vi inser att ”tidvattenkraften” är en term som var bra när det vi visste begränsade sig till vattnets rörelser på vår egen planet.

Jag kan inte låta bli att undra hur de jordlika planeterna kring Trappist-1 påverkas av ”tidvattenkraften”. Stjärnan, Trappist-1, har en massa på blott 8% av Solens men planeterna kring den ligger nära och det konstaterade vi ovan att är mycket betydelsefullt.

”Tidvattekraften”,  stjärnan, Trappist-1 och Trappist-1d,

mellan Trappist-1b och Trappist-1d

och Trappist-1c och Trappist-1d:

Från den grafik som utgör grunden för upptäckten av planeterna visar att de tre innersta planeterna då och då ligger på linje med varann och sin stjärna. Då utsätts Trappist-1d för summan av dessa krafter.

Hur stor är ”Tidvattenkraften” när vi ser på Trappist-1d och stjärnan, Trappist-1 i jämförelse med den mellan Månen och Jorden? Ä det någon skillnad om planeten roterar eller är gravitationsmässigt låst så att planeten hela tiden vänder samma sida mot stjärnan?

Vad händer om du slår ihop ovanstående beräkningar av ”tidvattenkraften” på planet Trappist-1d?

I och för sig vet vi ju inte huruvida det finns vatten på Trappist-1d, men hur stor är sannolikheten att den är vulkaniskt aktiv på grund av ”tidvattenkraften”?

Vi borde hitta ett bättre begrepp, motsvarande engelskans ”tidal force”.

 

 

---

Jan är lärare i matematik och vetenskapliga tillvalsämnen på Sursik skola i Pedersöre, Finland. Att ta in världsrymden i klassrummet ger ofta, åtminstone, ett delsvar på frågan ”Varför?”, en fråga som hörs rätt ofta i samband med matematikundervisningen. Att dryfta stora frågor ger nyfikenheten näring, vilket i sin tur är en av nyckelingredienserna till framgång.